Mathe-Abitur: Analysis üben mit Übungsblättern und Lösungen

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f(x) = x^3 - x$. Die Punkte $A(0 \mid f(0))$ und $B(2 \mid f(2))$ liegen auf dem Graphen von $f$.

a) Berechne die Steigung der Geraden durch $A$ und $B$. (1 BE)

b) Bestimme rechnerisch alle Stellen $x \in\, ]0; 2[$, an denen die Tangente an den Graphen von $f$ parallel zur Geraden durch $A$ und $B$ verläuft. (3 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $g(x) = x^3 - 4x$.

a) Bestimme alle Nullstellen von $g$ im Intervall $[-1; 2]$. (1 BE)

b) Berechne den Inhalt der Gesamtfläche, die der Graph von $g$ im Intervall $[-1; 2]$ mit der $x$-Achse einschließt. (3 BE)

Gegeben ist die Funktion $s(x) = 9 - x^2$ für $x \in [0; 3]$. Für jedes $u \in ]0; 3[$ bilden die Punkte $O(0 \mid 0)$, $P(u \mid 0)$, $Q(u \mid s(u))$ und $R(0 \mid s(u))$ ein achsenparalleles Rechteck im ersten Quadranten.

a) Zeige, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks in Abhängigkeit von $u$ durch $A(u) = -u^3 + 9u$ beschrieben wird. (1 BE)

b) Bestimme den Wert von $u \in ]0; 3[$, für den der Flächeninhalt $A(u)$ maximal wird, und berechne diesen maximalen Flächeninhalt. (3 BE)