Abitur · Mathematik · Analytische Geometrie

Mathe-Abitur: Analytische Geometrie üben mit Übungsblättern und Lösungen

Name: Abstand und Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
Uploaded: 2026-11-01
Description: Lotfußpunkt bestimmen, Abstand berechnen und den Punkt spiegeln, mit der typischen Falle.

Wir haben drei Übungsblätter zur Analytischen Geometrie für die Abiturvorbereitung deines Kindes erstellt, mit Bewertungseinheiten (BE) und einem Lösungsbogen mit Lösungsweg.

Teil A ohne Hilfsmittel, Teil B mit Taschenrechner und Formelsammlung
Lösungsbogen mit Lösungsweg und typischen Fehlern
Kostenlos und ohne Anmeldung

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Hinweis: Lernaido hat die Aufgaben für die Abiturvorbereitung neu erstellt. Es sind keine Originalaufgaben. Lernaido ist nicht mit einem Kultusministerium oder dem Institut zur Qualitätsentwicklung im Bildungswesen (IQB) verbunden.

Beispielaufgabe · Teil A (ohne Hilfsmittel) · 4 BE

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(2 \mid -1 \mid 3)$ , $B(6 \mid 3 \mid 1)$ und $C(4 \mid 7 \mid 5)$ gegeben.

a) Bestimme die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist, sowie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts $M$ . (2 BE)

b) Berechne die Länge der Seite $[AB]$ und weise nach, dass das Parallelogramm $ABCD$ eine Raute ist. (2 BE)

Aus dem Blatt „Punkte, Vektoren und Geraden“. Den Lösungsweg findest du im PDF.

Drei Übungsblätter: Analytische Geometrie

Jedes Blatt hat fünf Aufgaben für Teil A und eine zusammenhängende Aufgabe für Teil B. Jede Aufgabe steht auf einer eigenen Seite mit Karofeld. Der Lösungsbogen steht am Ende des PDFs.

BE = Bewertungseinheiten (Punkte pro Aufgabe) · eA = erhöhtes Anforderungsniveau (Leistungskurs) · Teil A ohne, Teil B mit Taschenrechner und Formelsammlung

Mathematik · Analytische Geometrie
Punkte, Vektoren und Geraden
Vektoren und Beträge, Punkte im Raum, Geradengleichung, Lage von Geraden, Schnittpunkte
eA · Teil A 20 BE · Teil B 20 BE · 17 Seiten · PDF
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Mathematik · Analytische Geometrie
Skalarprodukt, Winkel und Flächen
Skalarprodukt, Orthogonalität, Winkel, besondere Vierecke, Flächeninhalt und Volumen
eA · Teil A 20 BE · Teil B 20 BE · 15 Seiten · PDF
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Mathematik · Analytische Geometrie
Ebenen
Ebene aus drei Punkten, Koordinatenform, Lage Gerade und Ebene, Schnittwinkel, Abstand und Spiegelung
eA · Teil A 20 BE · Teil B 20 BE · 15 Seiten · PDF
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Weitere Themen: Analysis · Stochastik

Das Video zum Blatt

Ein kurzes Video erklärt ein Thema aus dem Blatt „Ebenen“, mit Beispiel und typischer Falle. Folien und Sprecherstimme sind mit KI erstellt.

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Abstand und Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

Lotfußpunkt bestimmen, Abstand berechnen und den Punkt spiegeln, mit der typischen Falle. · ca. 3 Min.

Beispielaufgaben aus den Blättern

Eine Aufgabe aus jedem Blatt, so wie dein Kind sie im PDF findet. Den Lösungsweg zu jeder Aufgabe gibt es im Lösungsbogen.

Punkte, Vektoren und Geraden · 4 BE

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(2 \mid -1 \mid 3)$ , $B(6 \mid 3 \mid 1)$ und $C(4 \mid 7 \mid 5)$ gegeben.

a) Bestimme die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist, sowie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunkts $M$ . (2 BE)

b) Berechne die Länge der Seite $[AB]$ und weise nach, dass das Parallelogramm $ABCD$ eine Raute ist. (2 BE)

Skalarprodukt, Winkel und Flächen · 4 BE

Gegeben sind die Punkte $A(2 \mid -1 \mid 4)$ und $B(4 \mid 1 \mid 3)$ sowie die Vektoren $\vec{v}_k = \begin{pmatrix} 2k \\ -3 \\ k \end{pmatrix}$ mit $k \in \mathbb{R}$ .

a) Berechne den Betrag des Vektors $\vec{AB}$ und gib den zu $\vec{AB}$ gehörenden Einheitsvektor $\vec{e}_{AB}$ an. (2 BE)

b) Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den die Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{v}_k$ orthogonal zueinander sind. (2 BE)

Ebenen · 4 BE

Gegeben sind die Punkte $A(3 \mid 0 \mid 0)$ , $B(2 \mid 4 \mid 1)$ und $C(1 \mid 2 \mid -1)$ , die in der Ebene $E$ liegen.

a) Bestimme eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform. (3 BE)

b) Gegeben ist außerdem die Punktschar $P_k(k \mid 2k \mid k - 1)$ mit $k \in \mathbb{R}$ . Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den der Punkt $P_k$ in der Ebene $E$ liegt. (1 BE)

Vier typische Fehler

Zu jeder Aufgabe nennt der Lösungsbogen die typischen Fehler. Hier sind vier davon, damit du sie in der Lösung deines Kindes wiedererkennst.

Den Winkel zwischen Gerade und Ebene mit dem Kosinus berechnen: Für den Winkel $\alpha$ zwischen einer Geraden und einer Ebene gilt $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}$ . Mit dem Kosinus erhält man den Winkel zum Normalenvektor, in einer Aufgabe $60^\circ$ statt $30^\circ$ .
Beim Spiegeln den Lotvektor nur einmal addieren: Der Spiegelpunkt entsteht aus $\vec{P'} = \vec{P} + 2 \cdot \vec{PF}$ . Wer nur $\vec{PF}$ addiert, erhält den Lotfußpunkt $F(1 \mid 0 \mid 1)$ statt $P'(-3 \mid 4 \mid -1)$ .
Bei einer Schar den Aufpunkt nicht prüfen: Ob eine Gerade der Schar $h_a$ in der Ebene $E$ liegt, hängt nicht nur von der Orthogonalität ab. Sie liefert $a = 2$ oder $a = -2$ , aber nur für $a = 2$ liegt auch der Aufpunkt in $E$ .
Eine Lösung der Betragsgleichung vergessen: Aus $|2t - 3| = 3$ folgen $t = 3$ und $t = 0$ . Wer die Fallunterscheidung auslässt, findet nur einen der beiden Punkte auf der Geraden.

Die Lösung deines Kindes prüfen lassen

Fotografiere die Lösung deines Kindes. Lernaido bewertet jede Aufgabe, erklärt, wo ein Fehler steckt, und erstellt neue Übungen zum gleichen Thema. Das gilt für jedes Fach.

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Häufige Fragen

Welche Themen deckt die Analytische Geometrie hier ab?

Vektoren, Punkte und Geraden im Raum, Skalarprodukt und Winkel, besondere Vierecke, Flächeninhalt und Volumen sowie Ebenen mit Lage, Schnittwinkel, Abstand und Spiegelung. Matrizen und Lineare Algebra gehören nicht dazu.

Braucht dein Kind eine Zeichnung, um die Aufgaben zu lösen?

Nein. Keine Aufgabe setzt eine Abbildung voraus. Die Punkte stehen mit ihren Koordinaten im Text, Vektoren sind als Spaltenvektoren geschrieben. Skizzen zeichnet dein Kind selbst in das Karofeld.

Was ist in Teil B anders als in Teil A?

Teil A besteht aus fünf kurzen Aufgaben zu je 4 BE, die ohne Hilfsmittel gelöst werden. Teil B ist eine Sachaufgabe im Koordinatensystem mit mehreren Teilaufgaben, zum Beispiel eine Seilkamera in einem Stadion oder Solarmodule auf einem Dach. Dabei sind Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt.

Allgemeine Fragen zu den Blättern beantworten wir auf der Seite Mathe-Abitur.

Stand: November 2026